Kaj je sozvočje?

V prejšnjem zapisu smo izvedeli, kako deluje zvok. Ponovimo to formulo:

ZVOK = TEMELJNI TON + VSI VEČ OVERTONOV

Poleg tega, kot Japonci občudujejo češnjeve cvetove, bomo tudi mi občudovali graf frekvenčnega odziva – amplitudno-frekvenčno karakteristiko zvoka (slika 1):

Spomnimo se, da vodoravna os predstavlja višino (frekvenco nihanja), navpična os pa glasnost (amplitudo).

Vsaka navpična črta je harmonik, prvi harmonik se običajno imenuje osnovni. Harmoniki so razporejeni na naslednji način: drugi harmonik je 2-krat višji od osnovnega tona, tretji je tri, četrti je štiri itd.

Zaradi jedrnatosti, namesto »pogostost nth harmonic" bomo preprosto rekli "nharmonik«, namesto »osnovne frekvence« pa »zvočna frekvenca«.

Torej, če pogledamo frekvenčni odziv, nam ne bo težko odgovoriti na vprašanje, kaj je sozvočje.

Kako šteti do neskončnosti?

Sozvočje dobesedno pomeni »sozvenenje«, skupno zvenenje. Kako lahko zvenita dva različna zvoka skupaj?

Narišimo jih na istem grafikonu enega pod drugim (slika 2):

Tukaj je odgovor: nekateri harmoniki lahko sovpadajo v frekvenci. Logično je domnevati, da več ko se ujemajo frekvence, več "skupnih" zvokov imajo in posledično več sozvočja v zvoku takega intervala. Če smo povsem natančni, ni pomembno samo število ujemajočih se harmonikov, ampak kakšen delež vseh zvenečih harmonikov se ujema, torej razmerje med številom ujemajočih se in skupnim številom zvenečih harmonikov.

Dobimo najpreprostejšo formulo za izračun konsonance:

Kje N_sovp je število ujemajočih se harmonikov,  N_Skupno je skupno število zvenečih harmonikov (število različnih zvenečih frekvenc) in slabosti in je naše želeno sozvočje. Če želite biti matematično pravilni, je bolje, da pokličete količino merilo frekvenčne konsonance.

No, zadeva je majhna: izračunati morate N_sovp и N_Skupno, razdelite enega na drugega in dobite želeni rezultat.

Edina težava je, da je skupno število harmonikov in celo število ujemajočih se harmonikov neskončno.

Kaj se zgodi, če neskončnost delimo z neskončnostjo?

Spremenimo lestvico prejšnjega grafikona, se "odmaknemo" od njega (slika 3)

Vidimo, da se ujemanje harmonikov pojavlja vedno znova. Slika se ponovi (slika 4).

To ponavljanje nam bo pomagalo.

Dovolj je, da izračunamo razmerje (1) v enem od črtkanih pravokotnikov (npr. v prvem), potem bo zaradi ponovitev in na celi črti to razmerje ostalo enako.

Za poenostavitev bo frekvenca osnovnega tona prvega (nižjega) zvoka enaka enoti, frekvenca osnovnega tona drugega zvoka pa bo zapisana kot nezmanjšani ulomek  .

V oklepaju omenimo, da se v glasbenih sistemih praviloma uporabljajo ravno zvoki, katerih razmerje med frekvencami je izraženo z nekim ulomkom.  . Na primer, interval petine je razmerje  , kvart –  , triton —   in tako naprej

Izračunajmo razmerje (1) znotraj prvega pravokotnika (slika 4).

Dokaj enostavno je prešteti število ujemajočih se harmonikov. Formalno sta dva, eden pripada spodnjemu zvoku, drugi zgornjemu, na sliki 4 sta označena z rdečo. Toda obe harmoniki zvenita na isti frekvenci, oziroma če štejemo število ujemajočih se frekvenc, potem bo taka frekvenca samo ena.

Kakšno je skupno število zvočnih frekvenc?

Prepirajmo se takole.

Vse harmonike spodnjega zvoka so razvrščene v cela števila (1, 2, 3 itd.). Takoj ko je katera koli harmonika zgornjega zvoka celo število, bo sovpadala z eno od harmonik dna. Vse harmonike zgornjega zvoka so večkratniki osnovnega tona , torej frekvenca n-th harmonik bo enak:

to pomeni, da bo celo število (ker m je celo število). To pomeni, da ima zgornji zvok v pravokotniku harmonike od prvega (temeljnega tona) do n-oh, torej, zvok n frekvence.

Ker se vsi harmoniki spodnjega zvoka nahajajo v celih številih in glede na (3), se prvo sovpadanje pojavi na frekvenci m, se izkaže, da bo dal nižji zvok znotraj pravokotnika m zvočne frekvence.

Treba je opozoriti, da sovpadajoča frekvenca m zopet smo šteli dvakrat: ko smo šteli frekvence zgornjega zvoka in ko smo šteli frekvence spodnjega zvoka. Toda v resnici je frekvenca ena in za pravilen odgovor bomo morali odšteti eno "dodatno" frekvenco.

Vsota vseh zvočnih frekvenc znotraj pravokotnika bo:

Če nadomestimo (2) in (4) v formulo (1), dobimo preprost izraz za izračun sozvočja:

Če želite poudariti sozvočje zvokov, ki smo jih izračunali, lahko te zvoke označite v oklepajih slabosti:

S tako preprosto formulo lahko izračunate sozvočje katerega koli intervala.

In zdaj razmislimo o nekaterih lastnostih frekvenčne konsonance in primerih njenega izračuna.

Lastnosti in primeri

Najprej izračunajmo sozvočja za najenostavnejše intervale in se prepričajmo, da formula (6) »deluje«.

Kateri interval je najenostavnejši?

Vsekakor prima. Dve noti zvenita sozvočno. Na grafikonu bo videti takole:

Vidimo, da absolutno vse zvočne frekvence sovpadajo. Zato mora biti sozvočje enako:

Zdaj pa zamenjajmo razmerje za unison  v formulo (6), dobimo:

Izračun sovpada z »intuitivnim« odgovorom, kar je pričakovano.

Vzemimo še en primer, v katerem je intuitivni odgovor prav tako očiten – oktavo.

V oktavi je zgornji zvok 2-krat višji od spodnjega (glede na frekvenco osnovnega tona), oziroma na grafu bo videti takole:

Iz grafa je razvidno, da vsak drugi harmonik sovpada, intuitivni odgovor pa je: sozvočje je 50 %.

Izračunajmo ga po formuli (6):

In spet, izračunana vrednost je enaka "intuitivni".

Če vzamemo noto kot nižji zvok do in na graf narišite konsonančno vrednost za vse intervale znotraj oktave (enostavni intervali), dobimo naslednjo sliko:

Najvišje mere sozvočja so v oktavi, kvinti in kvarti. Zgodovinsko so se nanašali na "popolna" sozvočja. Male in velike terce ter mala in velika šesta so nekoliko nižje, ti intervali veljajo za "nepopolna" sozvočja. Ostali intervali imajo nižjo stopnjo konsonance, tradicionalno spadajo v skupino disonanc.

Zdaj navajamo nekaj lastnosti mere frekvenčne konsonance, ki izhajajo iz formule za njen izračun:

1. Bolj ko je razmerje zapleteno  (večja številka m и n), manj soglasnikov je interval.

И m и n v formuli (6) so v imenovalcu, zato se z večanjem teh števil zmanjšuje mera sozvočja.

2. Konsonanca intervala navzgor je enaka konsonanci intervala navzdol.

Da dobimo interval navzdol namesto intervala navzgor, potrebujemo razmerje   swap m и n. Toda v formuli (6) se s takšno zamenjavo ne bo popolnoma nič spremenilo.

3. Mera frekvenčne konsonance intervala ni odvisna od tega, iz katere note ga gradimo.

Če obe noti premaknete za enak interval navzgor ali navzdol (na primer, zgradite kvinto ne iz note do, ampak iz opombe re), nato razmerje  med notami se ne bo spremenila in posledično bo mera frekvenčne konsonance ostala enaka.

Lahko bi podali še druge lastnosti sozvočja, vendar se bomo za zdaj omejili na te.

Fizika in besedila

Slika 7 nam daje predstavo o tem, kako deluje sozvočje. Toda ali res tako dojemamo sozvočje intervalov? Ali obstajajo ljudje, ki ne marajo popolnih sozvočij, najbolj disonantne harmonije pa se zdijo prijetne?

Ja, takšni ljudje zagotovo obstajajo. In da bi to pojasnili, je treba ločiti dva pojma: fizično sozvočje и zaznano sozvočje.

Vse, kar smo obravnavali v tem članku, je povezano s fizičnim sozvočjem. Če ga želite izračunati, morate vedeti, kako zvok deluje in kako se seštevajo različne vibracije. Fizična konsonanca zagotavlja predpogoje za zaznano konsonanco, vendar je ne določa 100 %.

Zaznano sozvočje se določi zelo preprosto. Človeka vprašajo, ali mu je všeč to sozvočje. Če da, potem je zanj to sozvočje; če ne, je disonanca. Če mu za primerjavo damo dva intervala, potem lahko rečemo, da se bo eden od njiju osebi trenutno zdel bolj soglasen, drugi manj.

Ali je mogoče izračunati zaznano sozvočje? Tudi če predpostavimo, da je to mogoče, bo ta izračun katastrofalno zapleten, vključeval bo še eno neskončnost – neskončnost človeka: njegovih izkušenj, slušnih lastnosti in možganskih sposobnosti. S to neskončnostjo se ni tako enostavno spopasti.

Vendar raziskave na tem področju še potekajo. Zlasti skladatelj Ivan Soshinsky, ki prijazno zagotavlja zvočno gradivo za te note, je razvil program, s katerim lahko sestavite individualni zemljevid zaznavanja sozvočij za vsako osebo. Trenutno je v razvoju stran mu-theory.info, kjer se lahko vsak testira in ugotovi značilnosti svojega sluha.

In vendar, če obstaja zaznano sozvočje in se razlikuje od fizičnega, kakšen smisel ima računanje slednjega? To vprašanje lahko preoblikujemo na bolj konstruktiven način: kako sta ta dva koncepta povezana?

Študije kažejo, da je korelacija med povprečno zaznano sozvočjem in fizičnim sozvočjem reda 80 %. To pomeni, da ima lahko vsak človek svoje individualne značilnosti, vendar fizika zvoka ogromno prispeva k definiciji sozvočja.

Seveda so znanstvene raziskave na tem področju še na samem začetku. In kot zvočno strukturo smo vzeli razmeroma preprost model več harmonikov, pri izračunu sozvočja pa smo uporabili najpreprostejšo – frekvenco, in nismo upoštevali posebnosti možganske aktivnosti pri obdelavi zvočnega signala. A dejstvo, da je tudi v okviru takšnih poenostavitev dosežena zelo visoka stopnja korelacije med teorijo in eksperimentom, je zelo spodbudno in spodbuja nadaljnje raziskave.

Uporaba znanstvene metode na področju glasbene harmonije ni omejena na izračun sozvočja, daje tudi zanimivejše rezultate.

Na primer, s pomočjo znanstvene metode je glasbeno harmonijo mogoče grafično prikazati, vizualizirati. O tem, kako to narediti, se bomo pogovarjali naslednjič.

Avtor - Roman Oleinikov